Question

20．市政府為調(diào)查市民對(duì)本市某項(xiàng)調(diào)控措施的態(tài)度，隨機(jī)抽取了500名市民，統(tǒng)計(jì)了他們的月收入頻率分布和對(duì)該項(xiàng)措施的贊成人數(shù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示：

月收入（單位：百元）	[10，20）	[20，30）	[30，40）	[40，50）	[50，60）	[60，70）
頻數(shù)	25	100	150	155	50	20
贊成人數(shù)	10	70	120	150	35	15

（1）從月收入在[60，70）的20人中隨機(jī)抽取3人，求3人中至少2人對(duì)對(duì)該措施持贊成態(tài)度的概率；
（2）根據(jù)用樣本估計(jì)總體的思想，以樣本中事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，在本市隨機(jī)采訪3人，用X表示3人中對(duì)該項(xiàng)措施持贊成態(tài)度的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）從20人中任意選取3人，共有${C}_{20}^{3}$中取法，分別求出恰有2人持贊成態(tài)度的概率和恰有3人持贊成態(tài)度的概率，由此利用互斥事件概率計(jì)算公式能求出3人中至少2人對(duì)對(duì)該措施持贊成態(tài)度的概率．
（2）估計(jì)市民對(duì)該項(xiàng)政策持贊成態(tài)度的概率為p=$\frac{4}{5}$，X的可能取值為0，1，2，3，且X～B（3，$\frac{4}{5}$），由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）從20人中任意選取3人，共有${C}_{20}^{3}$中取法，且這${C}_{20}^{3}$種取法的可能性相同，
恰有2人持贊成態(tài)度的概率p₁=$\frac{{C}_{15}^{2}{C}_{5}^{1}}{{C}_{20}^{3}}$=$\frac{35}{76}$，
恰有3人持贊成態(tài)度的概率P₂=$\frac{{C}_{15}^{3}{C}_{5}^{0}}{{C}_{20}^{3}}$=$\frac{91}{228}$，
∴3人中至少2人對(duì)對(duì)該措施持贊成態(tài)度的概率p=p₁+p₂=$\frac{35}{76}+\frac{91}{228}$=$\frac{49}{57}$．
（2）∵500人中持贊成的頻率p₃=$\frac{10+70+120+150+35+15}{500}$=$\frac{4}{5}$，
∴可估計(jì)市民對(duì)該項(xiàng)政策持贊成態(tài)度的概率為p=$\frac{4}{5}$，
X的可能取值為0，1，2，3，且X～B（3，$\frac{4}{5}$），
P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{4}{5}）^{0}（\frac{1}{5}）^{3}$=$\frac{1}{125}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{4}{5}）（\frac{1}{5}）^{2}$=$\frac{12}{125}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{4}{5}）^{2}（\frac{1}{5}）$=$\frac{48}{125}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{4}{5}）^{3}（\frac{1}{5}）^{0}$=$\frac{64}{125}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{125}$	$\frac{12}{125}$	$\frac{48}{125}$	$\frac{64}{125}$

EX=$0×\frac{1}{125}+1×\frac{12}{125}+2×\frac{48}{125}+3×\frac{64}{125}$=$\frac{12}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．