已知圓O:x2+y2=4和點M(1,a)
(1)若a=3,求過點M作圓O的切線的切線長.
(2)若過點M有且只有一條直線與圓O相切,求實數(shù)a的值,并求出切線方程.
考點:直線與圓的位置關系
專題:直線與圓
分析:(1)求出圓的圓心與半徑,利用圓心到(1,3)的距離與半徑、切線長滿足勾股定理,求出切線長即可.
(2)若過點M有且只有一條直線與圓O相切,則等價為M在圓上,求出a,即可求出切線方程.
解答: 解:(1)當a=3,圓O:x2+y2=4,它的圓心坐標(0,0),半徑為2,
圓心到M(1,3)的距離d=
12+32
=
10

所以切線長為:
(
10
)2-4
=
10-4
=
6

(2)若過點M有且只有一條直線與圓O相切,
則M在圓上,即1+a2=4,
即a2=3,解得a=±
3

則OM的斜率k=
a
1
=a
,
則切線的斜率k=-
1
a
,
則切線方程為y-a=-
1
a
(x-1),
即x+ay-a2-1=0,
若a=
3
,則切線方程為x+
3
y-4=0,
若a=-
3
,則切線方程為x-
3
y-4=0.
點評:本題主要考查直線和圓的位置關系的應用,根據直線和圓相切的等價條件是解決本題的關鍵.
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