Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若?x∈D，?y∈D，使得f（y）=-f（x）成立，則稱(chēng)函數(shù)f（x）為“美麗函數(shù)”．下列所給出的五個(gè)函數(shù)：
①y=x²；②y=$\frac{1}{x-1}$；③f（x）=ln（2x+3）；④y=2x+3；⑤y=2sin x-1．
其中是“美麗函數(shù)”的序號(hào)有②③④ ．

Answer 1

分析 由題意知“美麗函數(shù)”的值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，分別求出各函數(shù)的值域即可．

解答 解：∵若?x∈D，?y∈D，使得f（y）=-f（x）成立，
∴f（x）的值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．
①函數(shù)y=x²的值域?yàn)閇0，+∞），不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；
②函數(shù)y=$\frac{1}{x-1}$的值域?yàn)閧y|y≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；
③函數(shù)f（x）=ln（2x+3）的值域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；
④函數(shù)y=2x+3的值域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；
⑤函數(shù)y=2sinx-1的值域?yàn)閇-3，1]，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)新定義的理解，基本初等函數(shù)的值域，屬于中檔題．