Question

13．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的一個面A₁B₁C₁D₁在半徑為$\sqrt{3}$的半球底面上，A、B、C、D四個頂點(diǎn)都在此半球面上，則正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積為（　�。�

• A． $2\sqrt{2}$
• B． $3\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 正方體底面A₁B₁C₁D₁的中心為半球的球心，從而求出正方體的棱長，得出體積．

解答 解：∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的內(nèi)接于半徑為$\sqrt{3}$的半球，
∴正方形A₁B₁C₁D₁的中心O為半球的球心，
設(shè)正方體棱長為a，則OA₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
∴OA=$\sqrt{O{{A}_{1}}^{2}+A{{A}_{1}}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}a$=$\sqrt{3}$，
∴a=$\sqrt{2}$，
∴正方體的體積V=a³=2$\sqrt{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了圓與內(nèi)接正方體的關(guān)系，尋找求的半徑與正方體棱長的關(guān)系是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．