Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為棱C₁D₁上的動點，F為棱BC的中點．
（1）求證：直線AE⊥DA₁
（2）求直線DF與平面A₁B₁CD所成角的正弦值
（3）若E為C₁D₁的中點，在線段AA₁求一點G，使得直線AE⊥平面DFG．

Answer 1

【答案】分析：（1）線線垂直A₁D⊥D₁A，D₁A⊥D₁E，得線面垂直A₁D⊥平面D₁AE，從而又得線線垂直AE?平面D₁AE，所以A₁D⊥AE
（2）一作：取CC₁的中點M，連接FM交CB₁與O，二證：因為C₁B⊥B₁C，C₁B⊥CD，所以C₁B⊥平面A₁B₁CD，因為FM∥C₁B，所以
FM⊥平面A₁B₁CD．所以∠FDO就是直線DF與平面A₁B₁CD所成角，三計算：在三角形FDO中，sin∠FDO===．
（3）由AE⊥DA₁，還可由DF⊥平面AHE，證DF⊥AE，所以AE⊥平面DFA₁，故A₁點即為所求的點G，然后將探索題改為證明題來做即可
解答：證明：（1）∵A₁D⊥D₁A，D₁A⊥D₁E，∴A₁D⊥平面D₁AE，∵AE?平面D₁AE，∴A₁D⊥AE
解：（2）設正方體的棱長為2，取CC₁的中點M，連接FM交CB₁與O，則FO=
∵C₁B⊥B₁C，C₁B⊥CD∴C₁B⊥平面A₁B₁CD，∵FM∥C₁B，∴FM⊥平面A₁B₁CD
∴∠FDO就是直線DF與平面A₁B₁CD所成角
在三角形FDO中，sin∠FDO===
（3）存在，G點即為A₁點，由（1）可證得AE⊥DA₁，取CD的中點H，由DF⊥AH，DF⊥EH
AH∩EH=H，得DF⊥平面AHE，∴DF⊥AE
∵DFA₁D=D，∴AE⊥平面DFG
點評：本題考察了空間線線垂直，線面垂直的證明方法，空間直線與平面所成角的作法和算法，解題時要認真體會將空間問題轉化為平面問題的思想方法