【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)為平面上的動(dòng)點(diǎn)，且過點(diǎn)作的垂線，垂足為，滿足：

(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

(Ⅱ)在軌跡上求一點(diǎn)，使得到直線的距離最短，并求出最短距離.

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)

【解析】

試題分析：(Ⅰ)將點(diǎn)的坐標(biāo)代入化簡(jiǎn)可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(Ⅱ)由點(diǎn)到直線的距離公式求得M到直線的距離，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)可求得函數(shù)的最小值及取得最小值時(shí)的自變量值即M的坐標(biāo)

試題解析：(Ⅰ)設(shè)，

，…………4分，

，，

所求軌跡為： ………6分

(Ⅱ)法一：設(shè)，則的距離為

，此時(shí)為所求. ……12分

法二：當(dāng)與直線平行，且與曲線相切時(shí)的切點(diǎn)與與直線的距離最短.

設(shè)該直線方程為，…… 7分

，解得：

到直線的距離最短，最短距離為.……12分

法三：當(dāng)與直線平行，且與曲線相切時(shí)的切點(diǎn)與與直線的距離最短.

設(shè)切點(diǎn)為，軌跡方程可化為：，切線斜率為，

以下方法同法二.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知矩形中，，分別在上，且，沿將四邊形折成四邊形，使點(diǎn)在平面上的射影在直線上，且.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，P為BC的中點(diǎn)，Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是_________（寫出所有正確命題的編號(hào)）。

①當(dāng)時(shí)，S為四邊形

②當(dāng)時(shí)，S為等腰梯形

③當(dāng)時(shí)，S與的交點(diǎn)R滿足

④當(dāng)時(shí)，S為六邊形

⑤當(dāng)時(shí)，S的面積為

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知平行四邊形ABCD中，BC＝6，正方形ADEF所在平面與平面ABCD垂直，G，H分別是DF，BE的中點(diǎn)．

(1)求證：GH∥平面CDE；

(2)若CD＝2，DB＝4，求四棱錐F—ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）若方程有兩個(gè)小于2的不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）若函數(shù)在[0，2]上的最大值為4，求實(shí)數(shù)a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直線（）.

（1）證明：直線過定點(diǎn)；

（2）若直線不經(jīng)過第四象限，求的取值范圍；

（3）若直線軸負(fù)半軸于，交軸正半軸于，△的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的最小值，并求此時(shí)直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)、分別為橢圓：的左、右兩個(gè)焦點(diǎn).
（Ⅰ）若橢圓上的點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離之和等于6，寫出橢圓的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)是（1）中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)M的軌跡方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），．

（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）求的最大值；

（Ⅲ）設(shè)，其中為的導(dǎo)函數(shù)，證明：對(duì)任意，．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知定義在上的函數(shù)滿足：，當(dāng)時(shí)，.

（1）求證：為奇函數(shù)；

（2）求證：為上的增函數(shù)；

（3）解關(guān)于的不等式：.（其中且為常數(shù)）.

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