Question

1．已知△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，若∠B=75°，$∠ADC={150°}，BD=\sqrt{6}+\sqrt{2}$，則△ABC的周長(zhǎng)為6+2（$\sqrt{6}+\sqrt{2}+\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，利用角度關(guān)系構(gòu)建三角形，再利用正弦定理求各邊長(zhǎng)，即可得到周長(zhǎng)．

解答 解：如圖，連接AD，∵∠B=75°，∠ADC=150°
∴∠BAD=75°
那么：$\frac{BD}{sin∠BAD}=\frac{AB}{sin∠BDA}$
即$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{sin75°}=\frac{AB}{sin150°}$
解得：AB=2．
又∵BD=DC=$\sqrt{6+\sqrt{2}}$
∴BC=2$\sqrt{6}$+$2\sqrt{2}$．
所以：∠DAC=∠DCA=15°．
可得∠BAC=90°，
那么：AC=BC•cos∠BCA=4+2$\sqrt{3}$
因此：△ABC的周長(zhǎng)為：BC+AC+AB=2+2$\sqrt{6}$+$2\sqrt{2}$+4+2$\sqrt{3}$=6+2（$\sqrt{6}+\sqrt{2}+\sqrt{3}$）
故答案為：6+2（$\sqrt{6}+\sqrt{2}+\sqrt{3}$）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解三角形在實(shí)際生活中的運(yùn)用，學(xué)會(huì)利用角度和邊長(zhǎng)的關(guān)系建立等式，靈活運(yùn)用正弦定理．屬于中檔題．