Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）═ax²+bx+1，a，b∈R．
（I）若關(guān)于x的不等式f（x）＞0的解集為（-1，2），求a、b的值；
（Ⅱ）已知f（1）=0，當(dāng)a＞1時(shí)，求關(guān)于x的不等式f（x）＜0的解集．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)一元二次不等式與對(duì)應(yīng)方程的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系，即可求出a、b的值；
（Ⅱ）根據(jù)f（1）=0求出b=-1-a，代入不等式f（x）＜0中，利用a＞1求解集即可．

解答 解：函數(shù)f（x）═ax²+bx+1，a，b∈R；
（I）關(guān)于x的不等式f（x）＞0的解集為（-1，2），
∴方程ax²+bx+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為-1和2，
由根與系數(shù)的關(guān)系得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}=-1+2}\\{\frac{1}{a}=-1×2}\end{array}\right.$，
解得a=-$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）∵f（1）=0，∴a+b+1=0，
∴b=-1-a，
不等式f（x）＜0可化為
ax²-（a+1）x+1＜0，
即（ax-1）（x-1）＜0，
又a＞1，∴不等式對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為$\frac{1}{a}$和1，
且$\frac{1}{a}$＜1，
∴不等式f（x）＜0的解集為{x|$\frac{1}{a}$＜x＜1}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次不等式與對(duì)應(yīng)方程的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了含有字母系數(shù)的不等式的解法與應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．