Question

（1）求y=

cosx

2cosx+1

值域
（2）求y=

1+sinx

3+cosx

的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）解出cosx，借助余弦函數(shù)的有界性解不等式即可得到值域；
（2）把函數(shù)y=

1+sinx

3+cosx

化成整式，化成asinx+bcosx的形式，借助三角函數(shù)的有界性求解．

解答： 解：（1）由y=

cosx

2cosx+1

可得，cosx=

y

1-2y

，
由于-1≤cosx≤1，即為|

y

1-2y

|≤1，
即

(1-y)(3y-1)

(1-2y)2

≤0，
解得y≥1或y≤

1

3

，
則值域?yàn)椋?∞，

1

3

]∪[1，+∞）；
（2）∵y=

1+sinx

3+cosx

，
∴3y+ycosx=1+sinx，
即sinx-ycosx=3y-1，
∴

1+y2

sin（x+θ）=3y-1，
∴sin（x+θ）=

3y-1

1+y2

，
又-1≤sin（x+θ）≤1，
∴-1≤

3y-1

1+y2

≤1，
解得0≤y≤

3

4

，
即函數(shù)y=

1+sinx

3+cosx

的值域是[0，

3

4

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的最值，考查輔助角公式與正弦函數(shù)的有界性，考查轉(zhuǎn)化與方程思想，屬于中檔題．