Question

13．在平面直角坐標系中，點P是直線l：x=-$\frac{1}{2}$上一動點，定點F（$\frac{1}{2}$，0）點Q為PF的中點，動點M滿足$\overline{MQ}$•$\overline{PF}$=0，$\overline{MP}$=λ$\overline{OF}$（λ∈R），過點M作圓（x-3）²+y²=2的切線，切點分別為S，T，則|ST|的最小值為（　�。�

• A． $\frac{2\sqrt{30}}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{30}}{5}$
• C． $\frac{7}{2}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 由題意首先求出M的軌跡方程，然后在M滿足的曲線上設點，只要求曲線上到圓心的距離的最小值，即可得到|ST|的最小值．

解答 解：設M坐標為 M（x，y），由MP⊥l知 P（-$\frac{1}{2}$，y），
由點Q為PF的中點知 Q（0，$\frac{y}{2}$），
又因為QM⊥PF，QM、PF斜率乘積為-1，即$\frac{y-\frac{y}{2}}{x}=-\frac{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}{y}$，
解得：y²=2x，
∴M的軌跡是拋物線，
設M（y²，$\sqrt{2}$y），到圓心（3，0）的距離為d，
d²=（y²-3）²+2y²=y⁴-4y²+9=（y²-2）²+5，
∴y²=2時，d_min=$\sqrt{5}$，此時的切線長為$\sqrt{5-2}$=$\sqrt{3}$，
∴|ST|的最小值為2×$\frac{\sqrt{3}×\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{30}}{5}$．
故選：A．

點評 本題考查了拋物線軌跡方程的求法以及與圓相關(guān)的距離的最小值求法，屬于中檔題．