Question

8．所謂正三棱錐，指的是底面為正三角形，頂點(diǎn)在底面上的射影為底面三角形中心的三棱錐，在正三棱錐S-ABC中，M是SC的中點(diǎn)，且AM⊥SB，底面邊長(zhǎng)AB=2$\sqrt{2}$，則正三棱錐S-ABC的體積為$\frac{4}{3}$，其外接球的表面積為12π．

Answer 1

分析 設(shè)棱錐的高為SO，則由正三角形中心的性質(zhì)可得AC⊥OB，AC⊥SO，于是AC⊥平面SBO，得SB⊥AC，結(jié)合SB⊥AM可證SB⊥平面SAC，同理得出SA，SB，SC兩兩垂直，從而求得側(cè)棱長(zhǎng)，計(jì)算出體積．外接球的球心N在直線SO上，設(shè)SN=BN=r，則ON=|SO-r|，利用勾股定理列方程解出r．

解答 解：設(shè)O為S在底面ABC的投影，則O為等邊三角形ABC的中心，
∵SO⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴AC⊥SO，又BO⊥AC，
∴AC⊥平面SBO，∵SB?平面SBO，
∴SB⊥AC，又AM⊥SB，AM?平面SAC，AC?平面SAC，AM∩AC=A，
∴SB⊥平面SAC，
同理可證SC⊥平面SAB．
∴SA，SB，SC兩兩垂直．
∵△SOA≌△SOB≌△SOC，
∴SA=SB=SC，
∵AB=2$\sqrt{2}$，∴SA=SB=SC=2．
∴三棱錐的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{△SAC}•SB$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2=\frac{4}{3}$．
設(shè)外接球球心為N，則N在SO上．
∵BO=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}AB$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．∴SO=$\sqrt{S{B}^{2}-B{O}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
設(shè)外接球半徑為r，則NO=SO-r=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-r，NB=r，
∵OB²+ON²=NB²，∴$\frac{8}{3}$+（$\frac{2\sqrt{3}}{3}-r$）²=r²，解得r=$\sqrt{3}$．
∴外接球的表面積S=4π×3=12π．
故答案為：$\frac{4}{3}$，12π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正棱錐的結(jié)構(gòu)特征，棱錐與外接球的關(guān)系，屬于中檔題．