Question

15．已知a滿足方程x+lgx=4，b滿足方程x+10^x=4，函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（a+b）x+2，x≤0}\\{2，x＞0}\end{array}\right.$，則關(guān)于x的方程f（x）=x的所有實(shí)數(shù)根之和是（　�。�

• A． 2
• B． 0
• C． -3
• D． -1

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)可得x=lg（4-x），令f（x）=x-lg（4-x），從而可得4-a=b，化簡(jiǎn)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x+2，x≤0}\\{2，x＞0}\end{array}\right.$，從而分類討論求方程的實(shí)數(shù)根之和．

解答 解：∵x+10^x=4，
∴10^x=4-x，
∴x=lg（4-x），
令f（x）=x-lg（4-x），
∵a+lga-4=0，b-lg（4-b）=0，
∴4-a=b，
故a+b=4；
故f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x+2，x≤0}\\{2，x＞0}\end{array}\right.$，
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2=x，
當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=x²+4x+2=x，
解得，x=-1或x=-2；
故f（x）=x的根為-1，-2，0；
故關(guān)于x的方程f（x）=x的所有實(shí)數(shù)根之和是-3，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用．