Question

9．如圖，長方體ABCD-A′B′C′D′中，AD=AA′=1，AB=2，點E是AB的中點．
（1）證明：BD′∥平面A′DE；
（2）證明：D′E⊥A′D．

Answer 1

分析 （1）取DC的中點F，連接D′F，F(xiàn)B，證明平面A′DE∥平面D′FB，即可證明BD′∥平面A′DE；
（2）連接AD′，則AD′⊥A′D，證明：AD′是D′E在平面ADD′A′中的射影，即可證明D′E⊥A′D．

解答 證明：（1）取DC的中點F，連接D′F，F(xiàn)B，
則BF∥ED，D′F∥A′E，
∵D′F∩FB=F，A′E∩ED=E，
∴平面A′DE∥平面D′FB，
∵BD′?平面D′FB，
∴BD′∥平面A′DE；
（2）連接AD′，則AD′⊥A′D，
∵長方體ABCD-A′B′C′D′中，AB⊥平面ADD′A′，
∴AD′是D′E在平面ADD′A′中的射影，
∴D′E⊥A′D．

點評 本題主要考查了直線與平面平行的判定，空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，考查了空間想象能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基本知識的考查．