Question

已知向量

a

=(2

3

sinωx，cos2ωx)，

b

=(cosωx，-1)(ω＞0)，函數(shù)f（x）=

a

•

b

，且其圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是

π

4

．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）圖象上的每一點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)g（x）的圖象，求y=g（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應用

分析：（Ⅰ）運用向量的數(shù)量積的坐標公式及二倍角的正弦公式，再由周期公式，即可得到；
（Ⅱ）由圖象的伸縮變換，得到函數(shù)g（x）的解析式，再運用正弦函數(shù)的單調(diào)性和值域，即可得到最值．

解答： 解：（Ⅰ）由已知可得，f(x)=

a

•

b

=2

3

sinωxcosωx-cos2ωx
=

3

sin2ωx-cos2ωx=2sin(2ωx-

π

6

)，
又f（x）的周期T=

π

4

×2=

π

2

，
所以

2π

2ω

=

π

2

，即ω=2；
（Ⅱ） 由（Ⅰ） 得f(x)=2sin(4x-

π

6

)，
又由題意得g(x)=2sin(2x-

π

6

)，
因為x∈[0，

π

2

]，所以2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
則當2x-

π

6

=-

π

6

，即x=0時，g（x）_min=-1，
當2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

時，g（x）_max=2．

點評：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標表示，考查三角函數(shù)的二倍角公式和兩角差的正弦公式，以及周期公式，考查三角函數(shù)的圖象變換，考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題．