Question

已知命題p：對任意x∈R，不等式2^x+|2^x-2|＞a²-a恒成立；命題q：關于x的方程x²+2ax+1=0有兩個不相等的實數根．若“（￢p）∨q”為真命題，“（￢p）∧q”為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：令f（x）=2^x+|2^x-2|，則f(x)=

2，x≤1 2x+1-2，x＞1

．利用函數的單調性可得f（x）有最小值2．若命題p為真命題，則a²-a＜2，解得a．若命題q為真命題，則△=4a²-4＞0．由于“（￢p）V q”為真命題，“（￢p）∧q”為假命題，可得￢p與q一真一假．

解答： 解：令f（x）=2^x+|2^x-2|，則f(x)=

2，x≤1 2x+1-2，x＞1

．
∵y=2^x+1-2是增函數，∴f（x）有最小值2，
若命題p為真命題，則a²-a＜2，-1＜a＜2．
若命題q為真命題，則△=4a²-4＞0，a＜-1或a＞1．
∵“（￢p）V q”為真命題，“（￢p）∧q”為假命題，
∴￢p與q一真一假．
若p真，則q真，此時1＜a＜2；
若p假，則q假，此時

a≤-1或a≥2 -1≤a≤1

，解得a=-1．
故a的取值范圍是{-1}∪（1，2）．

點評：本題考查了指數函數的單調性、一元二次方程的實數根與判別式的關系、復合命題真假的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．