Question

．光線(xiàn)被曲線(xiàn)反射，等效于被曲線(xiàn)在反射點(diǎn)處的切線(xiàn)反射．已知光線(xiàn)從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)，被橢圓反射后要回到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)；光線(xiàn)從雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)被雙曲線(xiàn)反射后的反射光線(xiàn)等效于從另一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出；如題10圖，橢圓與雙曲線(xiàn)有公共焦點(diǎn)，現(xiàn)一光線(xiàn)從它們的左焦點(diǎn)出發(fā)，在橢圓與雙曲線(xiàn)間連續(xù)反射，則光線(xiàn)經(jīng)過(guò)次反射后回到左焦點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為

A．

B．

C．

D．

Answer 1

D

分析：根據(jù)題意，可知光線(xiàn)從左焦點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過(guò)橢圓反射要回到另一個(gè)焦點(diǎn)，光線(xiàn)從雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)出發(fā)被雙曲線(xiàn)反射后，反射光線(xiàn)的反向延長(zhǎng)線(xiàn)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)，從而可計(jì)算光線(xiàn)經(jīng)過(guò)2k（k∈N^*）次反射后回到左焦點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．

解：因?yàn)楣饩�(xiàn)被曲線(xiàn)反射，等效于被曲線(xiàn)在反射點(diǎn)處的切線(xiàn)反射．已知光線(xiàn)從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)，被橢圓反射后要回到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)；光線(xiàn)從雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)被雙曲線(xiàn)反射后的反射光線(xiàn)等效于從另一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出
所以，光線(xiàn)從左焦點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過(guò)橢圓反射要回到另一個(gè)焦點(diǎn)，光線(xiàn)從雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)出發(fā)被雙曲線(xiàn)反射后，反射光線(xiàn)的反向延長(zhǎng)線(xiàn)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)
如圖，AF₂=2m+AF₁，
BF₁+BA+AF₁=2a-AF₂+AF₁=2a-（2m+AF₁）+AF₁=2a-2m
所以光線(xiàn)經(jīng)過(guò)2k（k∈N^*）次反射后回到左焦點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為2k（a-m）
故選D．