Question

4．對(duì)于0≤m≤4中的任意m，不等式x²+mx＞4x+m-3恒成立，則x的取值范圍是（　�。�

• A． -1≤x≤3
• B． x≤-1
• C． x≥3
• D． x＜-1或x＞3

Answer 1

分析 解法1、由題意，可以采用分離參數(shù)法．x²-4x+3＞m（1-x），對(duì)1-x＞0，1-x=0，1-x＜0討論，0≤m≤4求解不等即可得到答案．
解法2、構(gòu)造函數(shù)法，構(gòu)造關(guān)于m的函數(shù)，由x²+mx＞4x+m-3，轉(zhuǎn)化為x²+mx-4x-m+3＞0，令函數(shù)g（m）=x²+mx-4x-m+3，即g（m）＞0，對(duì)于0≤m≤4中的任意m，從而求解不等式．

解答 解：解法1：
由題意，x²+mx＞4x+m-3恒成立，等價(jià)于x²-4x+3＞m（1-x）?（x-3）（x-1）＞-m（x-1）．
當(dāng)x-1＞0時(shí)，即x＞1，x-3＞-m，則m＞3-x．
∵0≤m≤4，∴3-x＜0，解得：x＞3．
當(dāng)x-1=0時(shí)，即x=1時(shí)，不等式不成立．
當(dāng)x-1＜0時(shí)，即x＜1，x-3＜-m，則m＜3-x．
∵0≤m≤4，∴3-x＞4，解得：x＜-1．
綜上所述：x的取值范圍是（-∞，-1）∪（3，+∞）
故選：D．
解法2：構(gòu)造函數(shù)法
由x²+mx＞4x+m-3，⇒x²+mx-4x-m+3＞0，令函數(shù)g（m）=（x-1）m+x²-4x+3，
∵x²+mx-4x-m+3＞0，即g（m）＞0，對(duì)于0≤m≤4中的任意m恒成立，
則有g(shù)（0）＞0且g（4）＞0，即，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+3＞0}\\{4（x-1）+{x}^{2}-4x+3＞0}\end{array}\right.$，解得：x＞3或x＜-1．
所以x的取值范圍是（-∞，-1）∪（3，+∞）
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了不等式恒成立問(wèn)題，分離參數(shù)法是解決恒等式的問(wèn)題的方法之一，好靈活運(yùn)用，同時(shí)本題要注意1-x與0大小討論．構(gòu)造函數(shù)法也是解決恒等式常用的方法，有某些題，非常有優(yōu)勢(shì)，必須掌握．屬于難題．