Question

6．已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=2^x+1+1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在所給的坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)f（x）的草圖，并求方程f（x）=m恰有兩個(gè)不同實(shí)根時(shí)的實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)利用對(duì)稱性進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．
（2）作出函數(shù)f（x）的圖象，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）若x＞0，則-x＜0，
∵當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=2^x+1+1．且f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（-x）=2^-x+1+1=f（x）．
即當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2^-x+1+1．
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x+1}+1，}&{x≤0}\\{{2}^{-x+1}+1，}&{x＞0}\end{array}\right.$
（2）作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=2^x+1+1∈（1，3]．
∴要使方程f（x）=m恰有兩個(gè)不同實(shí)根，
則滿足1＜m＜3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)解析式的求解以及函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)奇偶性的對(duì)稱性的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解是解決本題的關(guān)鍵．