Question

13．已知拋物線E：y²=2px（p＞0）的焦點為F，過F作斜率為1的直線交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且y₁y₂=-1．
（1）求拋物線E的方程；
（2）過F作圓M：（x+$\frac{9}{2}$）²+y²=9的切線，切點分別為C，D，求$\overrightarrow{FC}$$•\overrightarrow{FD}$．

Answer 1

分析 （1）寫出過AB的直線方程，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，化為關(guān)于y的一元二次方程，兩圓根與系數(shù)的關(guān)系求得p，則拋物線方程可求；
（2）求出拋物線的焦點坐標，得到以FM為直徑的圓的方程，聯(lián)立兩圓方程求得C，D的坐標，由數(shù)量積的坐標運算得答案．

解答 解：（1）由拋物線E：y²=2px（p＞0），得F（$\frac{p}{2}，0$），
∴直線AB的方程為y=1×（x-$\frac{p}{2}$），即y=x-$\frac{p}{2}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-\frac{p}{2}}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，得y²-2py-p²=0．
∴y₁y₂=-p²=-1，即p=1．
∴拋物線E的方程為y²=2x；
（2）由（1）得，F(xiàn)（$\frac{1}{2}$，0），圓M：（x+$\frac{9}{2}$）²+y²=9的圓心M（-$\frac{9}{2}，0$），
則以FM為直徑的圓的方程為$（x+2）^{2}+{y}^{2}=\frac{25}{4}$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{（x+\frac{9}{2}）^{2}+{y}^{2}=9}\\{（x+2）^{2}+{y}^{2}=\frac{25}{4}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-\frac{27}{10}}\\{{y}_{1}=-\frac{12}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\frac{27}{10}}\\{{y}_{2}=\frac{12}{5}}\end{array}\right.$．
不妨取C（$-\frac{27}{10}，-\frac{12}{5}$），D（$-\frac{27}{10}，\frac{12}{5}$），
則$\overrightarrow{FC}$$•\overrightarrow{FD}$=（$-\frac{27}{10}-\frac{1}{2}$，$-\frac{12}{5}$）•（$-\frac{27}{10}-\frac{1}{2}$，$\frac{12}{5}$）=$（-\frac{16}{5}）^{2}-\frac{144}{25}=\frac{112}{25}$．

點評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查平面向量數(shù)量積的坐標運算，是中檔題．