Question

18．已知拋物線C：y²=4x，定點D（m，0）（m＞0），過D作直線l交拋物線C于A，B兩點，E是D點關(guān)于坐標(biāo)原點O的對稱點．
（I）求證：∠AED=∠BED；
（Ⅱ）是否存在垂直于x軸的直線l′被以AD為直徑的圓截得的弦長恒為定值，若存在，求出l′的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）要證明∠AED=∠BED，根據(jù)直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，只要證K_AE=-K_BE即可，討論直線AB的斜率是否存在，設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線的方程，運用韋達定理和直線的斜率公式，即可得證；
（Ⅱ）假設(shè)存在滿足條件的直線，根據(jù)垂徑定理得性質(zhì)可知，要使正弦長為定值，則只要圓心到直線的距離為定值即可．

解答 解：（I）證明：當(dāng)AB垂直x軸時，A、B關(guān)于x軸對稱，
即有∠AED=∠BED；
當(dāng)AB存在斜率時，設(shè)直線AB：y=k（x-m），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），E（-m，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-m）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$可得k²x²-（2k²m+4）x+k²m²=0，
可得x₁+x₂=$\frac{4+2{k}^{2}m}{{k}^{2}}$，x₁x₂=m²，
即有k_AE+k_BE=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+m}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+m}$=$\frac{k（{x}_{1}-m）}{{x}_{1}+m}$+$\frac{k（{x}_{2}-m）}{{x}_{2}+m}$=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}-2k{m}^{2}}{（{x}_{1}+m）（{x}_{2}+m）}$=0，
故k_AE=-k_BE，
所以∠AED=∠BED；
（Ⅱ）假設(shè)存在垂直于x軸的直線l′：x=n被以AD為直徑的圓截得的弦長恒為定值．
設(shè)弦長為a，以AD為直徑的圓的圓心為（$\frac{{x}_{1}+m}{2}$，$\frac{{y}_{1}}{2}$），半徑為$\frac{1}{2}$AD，
由弦長公式可得a=2$\sqrt{{r}^{2}-opimaor^{2}}$=2$\sqrt{\frac{1}{4}A{D}^{2}-（\frac{{x}_{1}+m}{2}-n）^{2}}$，
即$\frac{1}{4}$a²=$\frac{1}{4}$[（x-m）²+y₁²]-（$\frac{{x}_{1}+m}{2}$-n）²
=$\frac{1}{4}$[（x-m）²+4x₁]-（$\frac{{x}_{1}+m}{2}$-n）²
=（n-m+1）x₁+mn-n²，
當(dāng)m=1時，弦長不恒為定值，則不存在直線l'；
當(dāng)m＞1時，存在直線l'：x=m-1，即n=m-1，
弦長恒為定值2$\sqrt{m-1}$．

點評 本題以向量得數(shù)量積得坐標(biāo)表示為載體考查了圓錐曲線得求解及直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系得求解．屬于綜合試題．