Question

4．某高校在2015年的自主招生考試中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的筆試成績(jī)，按成績(jī)分組：第一組[160，165），第二組[165，170），第三組[170，175），第四組[175，180），第五組[180，185）得到的頻率分布直方圖如圖所示
（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算出樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；（結(jié)果保留1位小數(shù)）
（Ⅱ）為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生，學(xué)校決定在筆試成績(jī)高的第三、四、五組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，求第三、四、五組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試．
（ III）在（Ⅱ）的前提下，學(xué)校決定在這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生接受甲考官的面試，求第四組至少有一名學(xué)生被甲考官面試的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算出樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；
（Ⅱ）因?yàn)樵诠P試成績(jī)高的第3、4、5組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生，而這三個(gè)小組共有60人，利用每一個(gè)小組在60人中所占的比例，乘以要抽取的人數(shù)，得到結(jié)果；
（III）利用列舉法，確定基本事件的個(gè)數(shù)，即可求第四組至少有一名學(xué)生被甲考官面試的概率．

解答 解：（Ⅰ）眾數(shù)為167.5；中位數(shù)為171.7…（4分）
（Ⅱ）由題設(shè)可知，第三組的頻率為0.06×5=0.3
第四組的頻率為0.04×5=0.2
第五組的頻率為0.02×5=0.1
第三組的人數(shù)為0.3×100=30，
第四組的人數(shù)為0.2×100=20
第五組的人數(shù)為0.1×100=10，
因?yàn)榈谌�、四、五組共有60名學(xué)生，
所以利用分層抽樣在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生，
每組抽到的人數(shù)分別為：
第三組$\frac{30}{60}×6=3$，
第四組$\frac{20}{60}×6$=2，
第五組|PF₁|：|PF₂|=3：2，
所以第三、四、五組分別抽取3人，2人，1人．…（8分）
（III）設(shè)第三組的3位同學(xué)為A₁、A₂、A₃，第四組的2名學(xué)生為B₁、B₂，
第五組的1位同學(xué)為C₁則從6位同學(xué)中抽2位同學(xué)有：
（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，C₁），
（A₂，A₃），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，C₁），（A₃，B₁），
（A₃，B₂），（A₃，C₁），（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁）共15種可能…（10分）
其中第四組的2位同學(xué)B₁，B₂中至少1位同學(xué)入選有
（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），
（A₃，B₂）（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁）共9種可能…（11分）
所以第四組至少有1位同學(xué)被甲考官面試的概率為$\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖、分層抽樣、古典概型的基本知識(shí)，是一道常見的高考題．