Question

13．已知函數(shù)f（x）=b•a^x（a＞0，a≠1，b∈R）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，$\frac{1}{2}$），B（3，2）
（1）試確定f（x）的解析式；
（2）記集合E={y|y=b^x-（$\frac{1}{a}$）^x+1，x∈[-3，2]}，λ=（$\frac{1}{10}$）⁰+${8^{-\frac{2}{3}}}$+$\root{3}{{{{（-\frac{3}{4}）}^3}}}$，判斷λ與E的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）由圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，$\frac{1}{2}$），B（3，2）可得ba=$\frac{1}{2}$，ba³=2，聯(lián)立解方程組可得；
（2）令t=（$\frac{1}{2}$）^x，二次函數(shù)區(qū)間的最值求y=t²-t+1，t∈[$\frac{1}{4}$，8]值域可得E，再由指數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)可得λ，可得答案．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=b•a^x（a＞0且a≠1，b∈R）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，$\frac{1}{2}$），B（3，2），
∴ba=$\frac{1}{2}$，ba³=2，聯(lián)立解得a=2，b=$\frac{1}{4}$，
故f（x）的解析式為f（x）=$\frac{1}{4}$•2^x=2^x-2；
（2）由（1）可得y=b^x-（$\frac{1}{a}$）^x+1=（$\frac{1}{4}$）^x-（$\frac{1}{2}$）^x+1=[（$\frac{1}{2}$）^x]²-（$\frac{1}{2}$）^x+1，
令t=（$\frac{1}{2}$）^x，由x∈[-3，2]可得t∈[$\frac{1}{4}$，8]，故y=t²-t+1，t∈[$\frac{1}{4}$，8]，
由二次函數(shù)可知當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時(shí)，y取最小值$\frac{3}{4}$，當(dāng)t=8時(shí)，y取最大值57，
故E=[$\frac{3}{4}$，57]，
化簡(jiǎn)可得λ=（$\frac{1}{10}$）⁰+${8^{-\frac{2}{3}}}$+$\root{3}{{{{（-\frac{3}{4}）}^3}}}$=1+$\frac{1}{4}$-$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{2}$，
故λ與E關(guān)系為λ∈E．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)解析式求解方法，涉及換元法和二次函數(shù)區(qū)間的最值，屬中檔題．