Question

19．如圖，某舞臺的兩側(cè)各有一塊同樣的扇形區(qū)域．圓心角∠AOB=90°，OA=4米，在圓弧$\widehat{AB}$上有一點(diǎn)C，作CD⊥OB于點(diǎn)D．設(shè)∠OAC=θ（rad），f（θ）=AC+CD．
（1）求函數(shù)f（θ）的解析式；
（2）若折線ACD是某表演路線的一部分，為優(yōu)化觀賞效果，要使折線ACD最長，問點(diǎn)D應(yīng)設(shè)計在何處？．

Answer 1

分析 （1）構(gòu)造輔助線，利用幾何關(guān)系找出半徑與角的關(guān)系．
（2）利用函數(shù)關(guān)系式求出折線ACD最長時θ的值，從而求出點(diǎn)D與點(diǎn)O的位置關(guān)系．

解答 解：（1）過點(diǎn)C作CD⊥OA于E，連接OC，得下圖：

則有：cosθ=$\frac{AE}{AC}$
∴AC=$\frac{AE}{cosθ}$，
∵CD⊥OB，∠AOB=90°，
∴CD平行等于OE
即AC=$\frac{OA-CD}{cosθ}$，
∵∠OAC=∠ACO=θ，
∴∠AOC=∠OCD=π-2θ，
∴CD=OC•cos（π-2θ），
即f（θ）=4cos（π-2θ）+$\frac{4-4cos（π-2θ）}{cosθ}$，
∴f（θ）=-8cos²θ+8cosθ+4；
（2）由（1）知，使折線ACD最長即是f（θ）的最大值．
∵f（θ）的最大值為其頂點(diǎn)，此時cosθ=-$\frac{8}{2×（-8）}$=$\frac{1}{2}$，
且0≤θ≤π，
∴θ=60°，
則有：OA=OC=AC=4米，
∴OD=OC•sin60°=2$\sqrt{3}$，
即點(diǎn)D應(yīng)設(shè)計在距離O點(diǎn)2$\sqrt{3}$米處．

點(diǎn)評 本題考查應(yīng)用三角恒等變換及三角函數(shù)知識解決實(shí)際問題，首先需要將實(shí)際問題通過轉(zhuǎn)化構(gòu)造出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系，其次要能夠結(jié)合所學(xué)三角函數(shù)的知識去求最值，本題體現(xiàn)了三角函數(shù)的應(yīng)用價值，屬于中檔題．