Question

1．知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足${S_n}=2{a_n}-2（{n∈{N^*}}）$，數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，且滿足b₂=a₁，b₈=a₃．
（I）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）令${c_n}=1-{（{-1}）^{n+1}}{a_n}$，關(guān)于k的不等式${c_k}≥4097（{1≤k≤100，k∈{N^*}}）$的解集為M，求所有a_k+b_k（k∈M）的和S．

Answer 1

分析 （I）數(shù)列{a_n}滿足${S_n}=2{a_n}-2（{n∈{N^*}}）$，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2a₁-2，解得a₁；n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，化為：a_n=2a_n-1，即可得出．設(shè)等差數(shù)列{b_n}的公差為d，可得b₂=a₁，b₈=a₃．可得b₁+d=2，b₁+7d=2³，解出即可得出．
（II）${c_n}=1-{（{-1}）^{n+1}}{a_n}$=1+（-2）ⁿ，b_n=n．當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，c_k=1-2^k≥4097，即2^k≤-4096，不成立．當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，c_k=1+2^k≥4097，即2^k≥4096．可得M={k|k=2m，6≤m≤50，m∈N⁺}．利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）數(shù)列{a_n}滿足${S_n}=2{a_n}-2（{n∈{N^*}}）$，∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2a₁-2，解得a₁=2；
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2），化為：a_n=2a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比為2．
∴a_n=2ⁿ．
設(shè)等差數(shù)列{b_n}的公差為d，∵b₂=a₁，b₈=a₃．
∴b₁+d=2，b₁+7d=2³，
解得b₁=d=1．
∴b_n=1+（n-1）=n．
（II）${c_n}=1-{（{-1}）^{n+1}}{a_n}$=1+（-2）ⁿ，b_n=n．
當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，c_k=1-2^k≥4097，即2^k≤-4096，不成立．
當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，c_k=1+2^k≥4097，即2^k≥4096．
∵2¹⁰=1024，2¹¹=2048，2¹²=4096．且1≤k≤100，k∈N⁺．
∴M={k|k=2m，6≤m≤50，m∈N⁺}．
則{a_k}組成首項(xiàng)為2¹²，末項(xiàng)為2¹⁰⁰，公比為4的等比數(shù)列．
{b_k}組成首項(xiàng)為12，末項(xiàng)為100，公差為2的等差數(shù)列．
則所有a_k+b_k（k∈M）的和S=$\frac{{2}^{12}（{4}^{45}-1）}{4-1}$+$\frac{45×（12+100）}{2}$=$\frac{{2}^{102}+3464}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系、分類(lèi)討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．