Question

9．△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，若2$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{BA}$=b²-（a+c）²．
（1）求角B的大�。�
（2）已知b=2$\sqrt{3}$，當(dāng)代數(shù)式2$\sqrt{3}$cos²$\frac{A}{2}$-sin（$\frac{4π}{3}$-C）取得最大值時，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的數(shù)量積定義列出方程解出a，b，c的關(guān)系，利用余弦定理求出cosB；
（2）用A表示C，使用誘導(dǎo)公式和二倍角公式化簡代數(shù)式得出A，利用正弦定理解出a，c，代入面積公式計算．

解答 解：（1）∵2$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{BA}$=b²-（a+c）²．∴2accosB=b²-a²-c²-2ac．
又∵2accosB=a²+c²-b²，∴a²+c²-b²=b²-a²-c²-2ac，即a²+c²-b²=-ac．
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=-$\frac{1}{2}$．
∴B=$\frac{2π}{3}$．
（2）∵A+C=π-B=$\frac{π}{3}$，∴C=$\frac{π}{3}-A$，
∴2$\sqrt{3}$cos²$\frac{A}{2}$-sin（$\frac{4π}{3}$-C）=$\sqrt{3}$（1+cosA）-sin（π+A）=$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$cosA+sinA
=$\sqrt{3}+$2sin（A+$\frac{π}{3}$）．
∴當(dāng)A=$\frac{π}{6}$時，代數(shù)式2$\sqrt{3}$cos²$\frac{A}{2}$-sin（$\frac{4π}{3}$-C）取得最大值．
∴A=C=$\frac{π}{6}$，∴a=c．
由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$，即$\frac{a}{\frac{1}{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{c}{\frac{1}{2}}$，
解得a=c=2．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了平面向量數(shù)量積的定義，三角函數(shù)的恒等變換，正余弦定理，屬于中檔題．