Question

10．已知a，b，c為實數(shù)，且a+b+c=2m-2，a²+$\frac{1}{4}$b²+$\frac{1}{9}$c²=1-m．
（1）求證：a²+$\frac{1}{4}$b²+$\frac{1}{9}$c²≥$\frac{（a+b+c）^{2}}{14}$；
（2）求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由柯西不等式得（a²+$\frac{1}{4}$b²+$\frac{1}{9}$c²）（1²+2²+3²）≥（a+b+c）²，即可證明：a²+$\frac{1}{4}$b²+$\frac{1}{9}$c²≥$\frac{（a+b+c）^{2}}{14}$；
（2）由已知，結合（1）的結論可得14（1-m）≥（2m-2）²，又 a²+$\frac{1}{4}$b²+$\frac{1}{9}$c²=1-m=1-m≥0，即可求實數(shù)m的取值范圍．

解答 （1）證明：由柯西不等式得（a²+$\frac{1}{4}$b²+$\frac{1}{9}$c²）（1²+2²+3²）≥（a+b+c）²，
所以a²+$\frac{1}{4}$b²+$\frac{1}{9}$c²≥$\frac{（a+b+c）^{2}}{14}$；
（2）解：由已知，結合（1）的結論可得14（1-m）≥（2m-2）²，
∴2m²+3m-5≤0，∴-2.5≤m≤1
又 a²+$\frac{1}{4}$b²+$\frac{1}{9}$c²=1-m=1-m≥0，∴m≤1．
綜上可得，-2.5≤m≤1．

點評 本題考查柯西不等式的運用，考查求實數(shù)m的取值范圍，正確運用柯西不等式是關鍵．