Question

10．在平面直角坐標系xOy中，已知點A（2，1），B（4，5），C（-1，-1）．
（1）求以線段AB，AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長；
（2）若向量$\overrightarrow{AC}-t\overrightarrow{OB}$與向量$\overrightarrow{OB}$垂直，求實數(shù)t的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的坐標運算、數(shù)量積運算性質(zhì)即可得出．
（2）利用向量垂直與數(shù)量積的關系即可得出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AB}=（2，4）$，$\overrightarrow{AC}=（-3，-2）$，
由$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=（-1，2）$，得$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=\sqrt{5}$，
由$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=（5，6）$，得$|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|=\sqrt{61}$．
故以線段AB，AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長$\sqrt{5}$，$\sqrt{61}$．
（2）$\overrightarrow{OB}=（4，5）$，由向量$\overrightarrow{AC}-t\overrightarrow{OB}$與$\overrightarrow{OB}$垂直，
得$（{\overrightarrow{AC}-t\overrightarrow{OB}}）•\overrightarrow{OB}=0$，
又$\overrightarrow{AC}-t\overrightarrow{OB}=（{-3，-2}）-t（{4，5}）=（{-3-4t，-2-5t}）$，
∴（-3-4t）×4+（-2-5t）×5=0，解得$t=-\frac{22}{41}$．

點評 本題考查了向量的坐標運算、數(shù)量積運算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．