Question

7．狄利克雷是德國著名數(shù)學(xué)家，函數(shù)D（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x為有理數(shù)}\\{0，x為無理數(shù)}\end{array}\right.$被稱為狄利克雷函數(shù)，下面給出關(guān)于狄利克雷函數(shù)D（x）的五個結(jié)論：
①若x是無理數(shù)，則D（D（x））=0；
②函數(shù)D（x）的值域是[0，1]；
③函數(shù)D（x）偶函數(shù)；
④若T≠0且T為有理數(shù)，則D（x+T）=D（x）對任意的x∈R恒成立；
⑤存在不同的三個點A（x₁，D（x₁）），B（x₂，D（x₂）），C（x₃，D（x₃）），使得△ABC為等邊角形．
其中正確結(jié)論的序號是②③④．

Answer 1

分析 ①，根據(jù)函數(shù)的對應(yīng)法則，可得不管x是有理數(shù)還是無理數(shù)，均有f（f（x））=1，從而可判斷①；
②，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，可得f（x）是偶函數(shù)，可判斷②；
③，根據(jù)函數(shù)的表達式，結(jié)合有理數(shù)和無理數(shù)的性質(zhì)，得f（x+T）=f（x），可判斷③；
④，取x₁=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，x₂=0，x₃=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得A（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），B（0，1），C（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），恰好△ABC為等邊三角形恰好構(gòu)成等邊三角形，可判斷④．

解答 解：①∵當(dāng)x為有理數(shù)時，D（x）=1；當(dāng)x為無理數(shù)時，D（x）=0，
∴當(dāng)x為有理數(shù)時，D（D（x））=D（1）=1；當(dāng)x為無理數(shù)時，D（D（x））=D（0）=1，
即不管x是有理數(shù)還是無理數(shù)，均有D（D（x））=1，故①不正確；
②∵有理數(shù)的相反數(shù)還是有理數(shù)，無理數(shù)的相反數(shù)還是無理數(shù)，
∴對任意x∈R，都有D（-x）=D（x），故②正確； 
③若x是有理數(shù)，則x+T也是有理數(shù)； 若x是無理數(shù)，則x+T也是無理數(shù)，
∴根據(jù)函數(shù)的表達式，任取一個不為零的有理數(shù)T，D（x+T）=D（x）對x∈R恒成立，故③正確； 
④取x₁=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，x₂=0，x₃=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得D（x₁）=0，D（x₂）=1，D（x₃）=0，
∴A（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），B（0，1），C（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），恰好△ABC為等邊三角形，故④正確．
即真命題是②③④，
故答案為：②③④．

點評 本題給出特殊函數(shù)表達式，求函數(shù)的值并討論它的奇偶性，著重考查了有理數(shù)、無理數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的奇偶性等知識，屬于中檔題．