Question

【題目】已知二次函數(shù)．

（Ⅰ）若的最大值為，求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）對于任意的，總有．求實(shí)數(shù)的取值范圍；

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ) 設(shè)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在的最值，由二次函數(shù)圖象性質(zhì)可知此最大值只能是之一，通過討論，即可求出a；

(Ⅱ)令t＝sinxcosx，變量分離轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)的最值，通過恒成立求出a的取值范圍．

解：(Ⅰ)二次函數(shù)中

設(shè)∴,若（）的最大值為

即關(guān)于S的二次函數(shù)在區(qū)間上有最大值,

由二次函數(shù)圖象性質(zhì)可知此最大值只能是之一

若，此時二次函數(shù)開口向下且對稱軸，所以函數(shù)在區(qū)間上最大值在頂點(diǎn)處取得，不是，不合題意；

若，此時二次函數(shù)開口向上且對稱軸，最大值，符合題意

若，此時二次函數(shù)開口向下且對稱軸，并不在頂點(diǎn)處有最大值，不符合題意

綜上所述.

(Ⅱ)對于任意的，總有，

令，

則命題轉(zhuǎn)化為，不等式恒成立，

當(dāng)時，使成立；

當(dāng)時，有

對于任意的恒成立；

∵∴或，則,故要使①式成立，

則有，又，故要使②式成立，則有，由題設(shè)知．

綜上，為所求。