Question

7．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，E是邊AC上一點，BE與⊙O交于點F，連接DF．
（1）證明：C，D，F(xiàn)，E四點共圓；
（2）若EF=3，AE=5，求BD•BC的值．

Answer 1

分析 （1）連接AD，證明∠C=∠DAB，∠C=∠DFB，利用∠DFE+∠DFB=180°，可得∠DFE+∠C=180°，即可證明C，D，F(xiàn)，E四點共圓；
（2）連接AF，根據(jù)C，D，E，F(xiàn)四點共圓，利用割線定理，即可求BD•BC的值．

解答 （1）證明：連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠DBA=90°，
∵∠BAC=90°，∴∠C+∠DBA=90°，∴∠C=∠DAB，
∵$\widehat{BD}=\widehat{BD}$，∴∠DAB=∠DFB，∴∠C=∠DFB，
∵∠DFE+∠DFB=180°，∴∠DFE+∠C=180°，
∴C，D，F(xiàn)，E四點共圓．
（2）解：連接AF．
∵AB是⊙O的直徑，∴AF⊥BE，
∵∠BAC=90°，∴AE²=EF•EB，∴5²=3EB，
即$EB=\frac{25}{3}$，∴$BF=\frac{25}{3}-3=\frac{16}{3}$，
∵C，D，E，F(xiàn)四點共圓，∴$BD•BC=BF•BE=\frac{16}{3}×\frac{25}{3}=\frac{400}{9}$．

點評 本題考查四點共圓的證明，考查切割線定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．