Question

2．一艘客輪在航海中遇險(xiǎn)，發(fā)出求救信號(hào)．在遇險(xiǎn)地點(diǎn)A南偏西45°方向10海里的B處有一艘海難搜救艇收到求救信號(hào)后立即偵查，發(fā)現(xiàn)遇險(xiǎn)客輪的航行方向?yàn)槟掀珫|75°，正以每小時(shí)9海里的速度向一小島靠近．已知海難搜救艇的最大速度為每小時(shí)21海里．
（1）為了在最短的時(shí)間內(nèi)追上客輪，求海難搜救艇追上客輪所需的時(shí)間；
（2）若最短時(shí)間內(nèi)兩船在C處相遇，如圖，在△ABC中，求角B的正弦值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)搜救艇追上客輪所需時(shí)間為t小時(shí)，兩船在C處相遇．由余弦定理得：BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos∠BAC，可得t的方程，即可得出結(jié)論；
（2）利用正弦定理，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)搜救艇追上客輪所需時(shí)間為t小時(shí)，兩船在C處相遇．
在△ABC中，∠BAC=45°+75°=120°，AB=10，AC=9t，BC=21t．
由余弦定理得：BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos∠BAC，
所以${（21t）^2}={10^2}+{（9t）^2}-2×10×9t×（-\frac{1}{2}）$，
化簡(jiǎn)得36t²-9t-10=0，解得$t=\frac{2}{3}$或$t=-\frac{5}{12}$（舍去）．
所以，海難搜救艇追上客輪所需時(shí)間為$\frac{2}{3}$小時(shí)．
（2）由$AC=9×\frac{2}{3}=6$，$BC=21×\frac{2}{3}=14$．
在△ABC中，由正弦定理得$sinB=\frac{AC•sin∠BAC}{BC}=\frac{{6•sin{{120}°}}}{14}=\frac{{6×\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{14}=\frac{{3\sqrt{3}}}{14}$．
所以角B的正弦值為$\frac{{3\sqrt{3}}}{14}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理與余弦定理，考查特殊角的三角函數(shù)．準(zhǔn)確找出題中的方向角是解題的關(guān)鍵之處．