Question

4．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1•a_n=2ⁿ（n∈N^*），則S₂₀₁₆=（　�。�

• A． 2²⁰¹⁶-1
• B． 3•2¹⁰⁰⁸-3
• C． 3•2¹⁰⁰⁸-1
• D． 3•2¹⁰⁰⁷-2

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1•a_n=2ⁿ（n∈N^*），a₂•a₁=2，解得a₂．當(dāng)n≥2時，可得：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=2．于是數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別成等比數(shù)列，公比為2．通過分組求和、利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1•a_n=2ⁿ（n∈N^*），
∴a₂•a₁=2，解得a₂=2．
當(dāng)n≥2時，$\frac{{a}_{n+1}{a}_{n}}{{a}_{n}{a}_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n-1}}$=2．
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別成等比數(shù)列，公比為2．
則S₂₀₁₆=（a₁+a₃+…+a₂₀₁₅）+（a₂+a₄+…+a₂₀₁₆）
=$\frac{{2}^{1008}-1}{2-1}$+$\frac{2（{2}^{1008}-1）}{2-1}$
=3•2¹⁰⁰⁸-3．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列的前n項和公式、分類討論方法、分組求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．