Question

13．已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx+sin（2x+$\frac{π}{2}$）．
（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{3}$]求f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式及降冪公式變形，再由輔助角公式化積，利用周期公式求得周期．然后利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）由x的范圍求得相位的范圍，進(jìn)一步求得函數(shù)的最大值．

解答 解：（1）f（x）=2sinxcosx+sin（2x+$\frac{π}{2}$）
=$sin2x+cos2x=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$．
∴$T=\frac{2π}{2}=π$．
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ$，得$kπ-\frac{3π}{8}≤x≤kπ+\frac{π}{8}$．
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[kπ-\frac{3π}{8}，kπ+\frac{π}{8}]$  k∈Z；
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{3}$]，∴$2x+\frac{π}{4}∈[\frac{π}{4}，\frac{11}{12}π]$，
∴當(dāng)$2x+\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{8}$時(shí)，${y}_{max}=\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，訓(xùn)練了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．