Question

10．第十屆珠海航展與10月28日至11月1日在珠海市機場路航展館舉行，組委會為了做好接待工作，對參加服務(wù)的200名工作人員進行為期一周的培訓(xùn)，培訓(xùn)結(jié)束對服務(wù)人員進行珠海航展知識測評，其成績的頻率分布直方圖如圖所示，規(guī)定95分及其以上獲優(yōu)勝獎．
（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計服務(wù)人員成績的平均值和中位數(shù)；
（2）現(xiàn)在要用分層抽樣的方法從這200人中抽取40人，再從抽取的40人中，隨機選取2人參加某項活動，記“其中獲優(yōu)勝獎的人數(shù)”為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖能估計服務(wù)人員成績的平均值和服務(wù)人員成績的中位數(shù)．
（2）要用分層抽樣的方法從這200人中抽取40人，則95分及其以上抽到4人，由題意X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖估計服務(wù)人員成績的平均值為：
$\overline{x}$=77.5×0.01×5+82.5×0.04×5+87.5×0.07×5+92.5×0.06×5+97.5×0.02×5=88.5．
∵[75，85）區(qū)間內(nèi)的頻率為（0.01+0.04）×5=0.25，
[85，90）區(qū)間內(nèi)的頻率為0.07×5=0.35，
∴估計服務(wù)人員成績的中位數(shù)為：85+$\frac{0.5-0.25}{0.35}×5$≈88.57．
（2）要用分層抽樣的方法從這200人中抽取40人，
則95分及其以上抽到$\frac{40}{200}×200×0.02×5$=4人，
由題意X的可能取值為0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{36}^{2}}{{C}_{40}^{2}}$=$\frac{21}{26}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{36}^{1}}{{C}_{40}^{2}}$=$\frac{12}{65}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{40}^{2}}$=$\frac{1}{130}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{21}{26}$	$\frac{12}{65}$	$\frac{1}{130}$

E（X）=$0×\frac{21}{26}$+$1×\frac{12}{65}$+2×$\frac{1}{130}$=$\frac{1}{5}$．

點評 本題考查離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望，是中檔題．在歷年高考中都是必考題型．解題時要認(rèn)真審題，仔細解答，注意概率和排列組合知識的靈活運用