Question

5．已知函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{{x}^{2}}{2}$-（a+1）x+$\frac{{a}^{2}}{2}$．
（1）若f′（2）=1，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（2）若f（x）有一個零點，求正數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數(shù)，由題意可得f′（2）=1，即2-a=2，解得a=0，進而得到f（2）=0，可得切線的方程；
（2）求出f（x）的導數(shù)，對a討論，0＜a＜1，a=1，a＞1，求得單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的零點，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{{x}^{2}}{2}$-（a+1）x+$\frac{{a}^{2}}{2}$的導數(shù)為
f′（x）=$\frac{a}{x}$+x-（a+1）=$\frac{（x-a）（x-1）}{x}$
由f′（2）=1，即2-a=2，得a=0，
f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-x，可得f（2）=0，
故切點為（2，0）
則切線方程為y=x-2；         
（2）由（1）得f′（x）=$\frac{a}{x}$+x-（a+1）=$\frac{（x-a）（x-1）}{x}$，x＞0，
①當0＜a＜1時，x∈（0，a）∪（1，+∞）時，f′（x）＞0；
x∈（a，1）時，f′（x）＜0，
所以（0，a）和（1，+∞）為f（x）的增區(qū)間，（a，1）為f（x）的減區(qū)間．
由f（x）有一個零點得：f（a）＜0或f（1）＞0，
即alna+$\frac{{a}^{2}}{2}$-（a+1）a+$\frac{{a}^{2}}{2}$＜0或aln1+$\frac{1}{2}$-（a+1）+$\frac{{a}^{2}}{2}$＞0，解得0＜a＜1．
②當a=1時，f′（x）=$\frac{（x-1）^{2}}{x}$≥0在x＞0上恒成立，故f（x）為（0，+∞）上的增函數(shù)，
此時f（x）有一個零點．
③當a＞1時，x∈（0，1）∪（a，+∞）時，f′（x）＞0；x∈（1，a）時f′（x）＜0，
所以（0，1）和（a，+∞）為f（x）的增區(qū)間，（1，a）為f（x）的減區(qū)間．
由f（x）有一個零點得：f（a）＞0或f（1）＜0，
即alna+$\frac{{a}^{2}}{2}$-（a+1）a+$\frac{{a}^{2}}{2}$＞0或aln1+$\frac{1}{2}$-（a+1）+$\frac{{a}^{2}}{2}$＜0，
解得：a＞e或1-$\sqrt{2}$＜a＜1+$\sqrt{2}$，
又因為a＞1，所以a＞e或1＜a＜1+$\sqrt{2}$．
綜上，a的取值范圍為（0，1+$\sqrt{2}$）∪（e，+∞）．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)性，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想以及分類討論思想方法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．