Question

7．在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的對(duì)邊，則下列結(jié)論正確的序號(hào)是②③．
①若a、b、c成等差數(shù)列，則B=$\frac{π}{3}$；               ②若c=4，b=2$\sqrt{3}$，B=$\frac{π}{6}$，則△ABC有兩解；
③若B=$\frac{π}{6}$，b=1，ac=2$\sqrt{3}$，則a+c=2+$\sqrt{3}$；     ④若（2c-b）cosA=acosB，則A=$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 由a、b、c成等差數(shù)列，得a+c=2b，兩邊平方可得a²+c²+2ac=4b²，求出cosB不一定等于$\frac{1}{2}$判斷①；利用正弦定理求出sinC，結(jié)合三角形中大邊對(duì)大角判斷②；求解三角形判斷③④．

解答 解：對(duì)于①，由a、b、c成等差數(shù)列，得a+c=2b，即a²+c²+2ac=4b²，
cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{3^{2}-2ac}{2ac}=\frac{3^{2}}{2ac}-1$，當(dāng)b²≠ac時(shí)，B$≠\frac{π}{3}$，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，若c=4，b=2$\sqrt{3}$，B=$\frac{π}{6}$，則sinC=$\frac{c}•sinB=\frac{4}{2\sqrt{3}}•\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$＞$\frac{1}{2}$，又c＞b，
∴△ABC有兩解，故②正確；
對(duì)于③，∵B=$\frac{π}{6}$，b=1，ac=2$\sqrt{3}$，
∴b²=1=a²+c²-2ac•cosB=a²+c²-6，則a²+c²=7，
∴$（a+c）^{2}={a}^{2}+2ac+{c}^{2}=7+4\sqrt{3}$，則a+c=2+$\sqrt{3}$，故③正確；
對(duì)于④，若（2c-b）cosA=acosB，則2sinCcosA-sinBcosA=sinAcosB，
∴2sinCcosA=sinC，則cosA=$\frac{1}{2}$，A=$\frac{π}{3}$，故④錯(cuò)誤．
∴正確的命題是②③．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查三角形的解法，屬中檔題．