如圖所示，已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面邊長AB=2，側棱BB1的長為4，E為C1C上的點，且CE=1，
（1）求證：A1C⊥平面BDE；
（2）求A1B與平面BDE所成的角的正弦值．
（1）證明：以D為原點，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系D-xyz
則D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4），E（0，2，1），
∴
BE
=（-2，0，1）．
∵
A1C
=（-2，2，-4），
DB
=（2，2，0），
∴
A1C
•
BE
=4+0-4=0且
A1C
•
DB
=-4+4+0=0，
∴
A1C
⊥
DB
且
A1C
⊥
BE
，
∵DB∩BE=B
∴A1C⊥平面BDE；
（2）由（1）知
A1C
=（-2，2，-4）是平面BDE的一個法向量，
∵
A1B
=（0，2，-4），
∴cos＜
A1C
，
A1B
＞=
A1C
•
A1B
|
A1C
||
A1B
|
=
30
6
，
∴A1B與平面BDE所成角的正弦值為
30
6
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

（文科）異面直線a、b所成的角為60°，則過空間任意一點可作______條直線與a、b都成60°．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別為AA1，AB，BB1，B1C1的中點，則異面直線EF與GH所成的角等于______．

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如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若點M是棱BC上的中點，則D1B與AM所成角的余弦值是______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖是無蓋正方體紙盒的展開圖，在原正方體中直線AB，CD所成角的大小為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知正△ABC的頂點A在平面α內(nèi)，頂點B，C在平面α的同一側，D為BC的中點，若△ABC在平面α內(nèi)的射影是以A為直角頂點的三角形，則直線AD與平面α所成角的正弦值的最小值為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1，側棱與底面垂直，底面ABCD是菱形且∠BAD=60°，側棱與底面邊長均為2，則面AB1C與底面A1B1C1D1，ABCD所成角的正弦值為（　�。�
A．
1
2
B．2C．
5
5
D．
2
5
5

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

三棱錐P-ABC中，AP=AC，PB=2，將此三棱錐沿三條側棱剪開，其展開圖是一個直角梯形p1p2p3A，如圖．
（1）求證：PB⊥AC
（2）求PB與面ABC所成角的大�。�
（3）（只理科做）求三棱錐P-ABC外接球的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點，F(xiàn)是側面BCC1B1內(nèi)的動點，且A1F∥平面D1AE，則A1F與平面BCC1B1所成角的正切值構成的集合是（　�。�
A．{t|
2
5
5
≤t≤2
3
}		B．{t|
2
5
5
≤t≤2}		C．{t|2≤t≤2
3
}		D．{t|2≤t≤2
2
}

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