Question

6．已知數(shù)列{a_n}是公比為q的等比數(shù)列，且a₁+2a₂=3a₃．
（1）求q的值；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為2，公差為q的等差數(shù)列，{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．當(dāng)n≥2時(shí)，試比較b_n與T_n的大小．

Answer 1

分析 （1）由已知可得a₁+2a₁q=3a₁q²，因?yàn)閧a_n}是等比數(shù)列，所以3q²-2q-1=0．由此能求出q的值．
（2）當(dāng)q=1時(shí)，b_n=n+1，故當(dāng)q=1時(shí)，T_n＞b_n（n≥2）．當(dāng)q=-$\frac{1}{3}$時(shí)，由此分類討論能比較b_n與T_n的大小

解答 解：（1）由已知可得a₁+2a₁q=3a₁q²，
因?yàn)閧a_n}是等比數(shù)列，所以3q²-2q-1=0．
解得q=1或q=-$\frac{1}{3}$．
（2）①當(dāng)q=1時(shí)，b_n=n+1，T_n=$\frac{{n}^{2}+3n}{2}$
所以，當(dāng)n≥2時(shí)，T_n-b_n=$\frac{1}{2}$（n²+n-2）．
即當(dāng)q=1時(shí)，T_n＞b_n（n≥2）．
②當(dāng)q=-$\frac{1}{3}$時(shí)，b_n=2+（n-1）×（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{7-n}{3}$，T_n=2n+$\frac{n}{2}$（n-1）（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{13n-{n}^{2}}{6}$，
所以T_n-b_n=-$\frac{（n-1）（n-14）}{6}$，
所以，當(dāng)n＞14時(shí)，T_n＜b_n；
當(dāng)n=14時(shí)，T_n=b_n；
當(dāng)2≤n＜14時(shí)，T_n＞b_n．
綜上，當(dāng)q=1時(shí)，T_n＞b_n（n≥2）．
當(dāng)q=-$\frac{1}{3}$時(shí)，若n＞14，T_n＜b_n；
若n=14，T_n=b_n；
若2≤n＜14，T_n＞b_n．

點(diǎn)評 本題首先考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量、通項(xiàng)，結(jié)合含兩個(gè)變量的不等式的處理問題．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，要求學(xué)生合理運(yùn)用分類討論思想進(jìn)行解題．本題有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．