已知函數(shù)f(x)=2lnx-x2+2x
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線的方程;
(Ⅱ)若函數(shù)g(x)=
1
3
x3+x2[f′(x)+2x-
4
x
+m]在區(qū)間(1,3)上不是單調(diào)函數(shù),求m的取值范圍;
(Ⅲ)若在區(qū)間(1,+∞)上,函數(shù)h(x)=
1
2
f(x)+ax2-x的圖象恒在直線y=2ax(x∈R)的下方,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(Ⅰ)只須求出其斜率的值即可,故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值,再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率.從而問題解決
(Ⅱ)求出g′(x),因?yàn)間(x)在區(qū)間(1,3)上不單調(diào),所以g′(x)改變符號(hào),從而得到m所滿足的條件.
(Ⅲ)將圖象的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式恒成立;通過構(gòu)造函數(shù),對(duì)新函數(shù)求導(dǎo),對(duì)導(dǎo)函數(shù)的根與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行討論,求出新函數(shù)的最值,求出a的范圍.
解答: 解:(I)∵f′(x)=
2
x
-2x+2
,切點(diǎn)坐標(biāo)(1,1),
∴切線的斜率k=f'(1)=2,
∴則切線方程為y-1=2(x-1),
即y=2x-1,
(II)∵g(x)=
1
3
x3+x2[f′(x)+2x-
4
x
+m]
=
1
3
x3+(m+2)x2-2x

∴g'(x)=x2+2(m+2)x-2
∵g(x)在區(qū)間(1,3)上不是單調(diào)函數(shù),且g'(0)=-2<0
g′(1)<0
g′(3)>0

m<-
3
2
m>-
19
6

故m的取值范圍是(-
19
6
,-
3
2

(III)若在區(qū)間(1,+∞)上,函數(shù)h(x)=
1
2
f(x)+ax2-x
的圖象恒在直線y=2ax(x∈R)的下方等價(jià)于對(duì)任意x∈(1,+∞),不等式(a-
1
2
)x2+lnx-2ax<0
恒成立
設(shè)ϕ(x)=(a-
1
2
)x2+lnx-2ax
,x∈(1,+∞)
則ϕ'(x)=(2a-1)x-2a+
1
x
=(x-1)(2a-1-
1
x
)

當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),x-1>0,0<
1
x
<1

①若2a-1≤0,即a≤
1
2
,ϕ'(x)<0,函數(shù)ϕ(x)在區(qū)間[1,+∞)為減函數(shù),
則當(dāng)任意x∈(1,+∞)時(shí),ϕ(x)<ϕ(1)=a-
1
2
-2a
=-
1
2
-a
,
只需-
1
2
-a
≤0,即當(dāng)-
1
2
≤a≤
1
2
時(shí),ϕ(x)=(a-
1
2
)x2+lnx-2ax<0
恒成立.
②若0<2a-1<1,即
1
2
<a<1
時(shí),令ϕ'(x)=(x-1)(2a-1-
1
x
)
=0
x=
1
2a-1
>1
,函數(shù)ϕ(x)在區(qū)間(1,
1
2a-1
)為減函數(shù),(
1
2a-1
,+∞)為增函數(shù),
則ϕ(x)∈(ϕ(
1
2a-1
),+∞),不合題意,
③若2a-1≥1,即當(dāng)a≥1時(shí),ϕ'(x)>0,函數(shù)ϕ(x)在區(qū)間(1,+∞)為增函數(shù)
則ϕ(x)∈(ϕ(1),+∞),不合題意,
綜上可知當(dāng)-
1
2
≤a≤
1
2
時(shí),ϕ(x)=(a-
1
2
)x2+lnx-2ax<0
恒成立
即當(dāng)-
1
2
≤a≤
1
2
時(shí),在區(qū)間(1,+∞)上,函數(shù)h(x)=
1
2
f(x)+ax2-x
的圖象恒在直線y=2ax(x∈R)的下方,
綜上所述.實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-
1
2
,
1
2
]
點(diǎn)評(píng):本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系,利用導(dǎo)數(shù)解決問題的能力,解決不等式恒成立及不等式有解問題一般都轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,通過導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,進(jìn)一步求出參數(shù)的范圍.
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已知f(x)=x2+(lga+2)x+lgb,f(-1)=-2,方程f(x)=2x至多有一個(gè)實(shí)根,求實(shí)數(shù)a、b的值.

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兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于2
2
 km,燈塔A在觀察站C的北偏東30°,燈塔B在觀察站C南偏東60°,則A、B之間的距離為( 。
A、2 km
B、3 km
C、4 km
D、5 km

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若變量x,y滿足約束條件
4x+3y-25≤0
x-4y+8≤0
x-1≥0
則Z=2x-y的最大值為(  )
A、2B、5C、1D、4

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化簡(jiǎn):
sin2x+2sin2x
1+tanx

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一水池有2個(gè)進(jìn)水口,1個(gè)出水口,每個(gè)進(jìn)水口進(jìn)水速度如圖甲,出水口出水速度如圖乙所示.某天0點(diǎn)到6點(diǎn),該水池的蓄水量如圖丙所示.

給出以下3個(gè)論斷:①0點(diǎn)到3點(diǎn)只進(jìn)水不出水;②3點(diǎn)到4點(diǎn)所打開一個(gè)進(jìn)水口和一個(gè)出水口;③4點(diǎn)到6點(diǎn)不進(jìn)水不出水.則正確論斷的個(gè)數(shù)是(  )
A、0B、1C、2D、3

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函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,那么,f(x)的定義域是
 
;值域是
 

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有以下的五種說法:
①函數(shù)f(x)=
1
x
的單調(diào)減區(qū)間是(-∞,0)∪(0,+∞)
②若A∪B=A∩B,則A=B=ϕ
③已知f(x)是定義在R上的減函數(shù),若兩實(shí)數(shù)a、b滿足a+b>0,則必有f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)
④已知f(x)=
ax2-ax+2
的定義域?yàn)镽,則a的取值范圍是[0,8)
以上說法中正確的有
 
(寫出所有正確說法選項(xiàng)的序號(hào))

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已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=2x+
a
2x+b
是奇函數(shù),若f(2x-3)+f(1-x)<0,求x的取值范圍.

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