Question

3．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），左焦點為F₁（-$\sqrt{3}$，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點（m，0）作圓x²+y²=1的切線l交橢圓C于A，B兩點，將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件c=$\sqrt{3}$，由橢圓的性質(zhì)可知a²=b²+3，將橢圓方程轉(zhuǎn)化成，$\frac{{x}^{2}}{^{2}+3}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，將點（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）代入方程即可求得a和b的值，即可求橢圓C的方程；
（2）利用直線的斜率存在與不存在，分別與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，以及弦長公式表示弦長|AB|表示為m的函數(shù)，通過基本不等式求解弦長的最大值．

解答 解：（1）橢圓的焦點為F₁（-$\sqrt{3}$，0），則c=$\sqrt{3}$．
a²=b²+c²，即a²=b²+3，
則橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{^{2}+3}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，將點（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）代入橢圓方程得：
$\frac{1}{^{2}+3}+\frac{3}{4^{2}}=1$，解得：b²=1，a²=4，
∴橢圓C的方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）由題意知，|m|≥1．
當(dāng)m=1時，切線l的方程x=1，點A、B的坐標(biāo)分別為（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），（1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）此時丨AB丨=$\sqrt{3}$； 
當(dāng)m=-1時，同理可丨AB丨=$\sqrt{3}$，…（5分）
當(dāng)|m|＞1時，設(shè)切線l的方程為y=k（x-m），（k≠0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-m）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得：（1+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-4=0，
設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則△=64k⁴m²-16（1+4k²）（4k²m²-4）=48k²＞0，
∴x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}m}{1+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{k}^{2}{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
由與x²+y²=1相切，$\frac{丨km丨}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，即m²k²=k²+1，得k²=$\frac{1}{{m}^{2}-1}$，
∴|AB|=$\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}}$=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[\frac{64{k}^{4}{m}^{2}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}-\frac{4（4{k}^{2}{m}^{2}-4）}{1+4{k}^{2}}]}$=$\frac{4\sqrt{3}丨m丨}{{m}^{2}+1}$，
∴|AB|=$\frac{4\sqrt{3}丨m丨}{{m}^{2}+1}$，
|m|＞1，|AB|=$\frac{4\sqrt{3}丨m丨}{{m}^{2}+1}$=$\frac{4\sqrt{3}}{丨m丨+\frac{3}{丨m丨}}$≤2，
當(dāng)且僅當(dāng)m=±$\sqrt{3}$時，|AB|=2，
由于當(dāng)m=±1時，|AB|=$\sqrt{3}$，
綜上可知：|AB|的最大值為2．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長公式的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．