Question

1．已知正實數(shù)a，b滿足$\frac{2}{a+2}$+$\frac{1}{a+2b}$=1，則a+b的取值范圍是[$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 由題意可得a+b=$\frac{1}{2}$[（a+2）+（a+2b）]-1=$\frac{1}{2}$[（a+2）+（a+2b）]（$\frac{2}{a+2}$+$\frac{1}{a+2b}$）-1，展開后運用基本不等式可得最小值，進而得到所求范圍．

解答 解：由正實數(shù)a，b滿足$\frac{2}{a+2}$+$\frac{1}{a+2b}$=1，
可得a+b=$\frac{1}{2}$[（a+2）+（a+2b）]-1=$\frac{1}{2}$[（a+2）+（a+2b）]（$\frac{2}{a+2}$+$\frac{1}{a+2b}$）-1
=$\frac{1}{2}$[3+$\frac{2（a+2b）}{a+2}$+$\frac{a+2}{a+2b}$]-1≥$\frac{1}{2}$[3+2$\sqrt{\frac{2（a+2b）}{a+2}•\frac{a+2}{a+2b}}$]-1
=$\frac{1}{2}$（3+2$\sqrt{2}$）-1=$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2（a+2b）}{a+2}$=$\frac{a+2}{a+2b}$，即a=$\sqrt{2}$，b=$\frac{1}{2}$時，取得等號．
則a+b的取值范圍是[$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$，+∞）．
故答案為：[$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$，+∞）．

點評 本題考查基本不等式的運用：求取值范圍，注意運用變形和乘1法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．