Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=

2

3

，a_n+1a_n+a_n+1=2a_n，n=1，2，3…
（1）求證數(shù)列{

1

an

-1}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{

n

an

}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n+1a_n+a_n+1=2a_n，變形為1+

1

an

=

2

an+1

，可得

1

an+1

-1=

1

2

(

1

an

-1)，即可證明；
（2）由（1）可得：

1

an

-1=

1

2

×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n，

n

an

=n+

n

2n

．設(shè)T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，利用“錯(cuò)位相減法”可得T_n，即可得出數(shù)列{

n

an

}的前n項(xiàng)和S_n=T_n+

n(n+1)

2

．

解答： （1）證明：∵a_n+1a_n+a_n+1=2a_n，
∴1+

1

an

=

2

an+1

，
∴

1

an+1

-1=

1

2

(

1

an

-1)，
又a1=

2

3

，∴

1

a1

-1=

1

2

．
∴數(shù)列{

1

an

-1}為等比數(shù)列；

（2）解：由（1）可得：

1

an

-1=

1

2

×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n，化為

1

an

=1+(

1

2

)n，
∴

n

an

=n+

n

2n

．
設(shè)T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，
∴

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

2+n

2n+1

，
∴T_n=2-

2+n

2n

，
∴數(shù)列{

n

an

}的前n項(xiàng)和S_n=T_n+

n(n+1)

2

=2+

n2+n

2

-

2+n

2n

．

點(diǎn)評：本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”，考查了變形能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．