已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x-4)=-f(x).
(1)當(dāng)f(1)=3時(shí),求f(2015)的值;
(2)求證:函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng);
(3)若f(x)滿(mǎn)足在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)的條件,且f(2)=1,求函數(shù)f(x)的值域.
考點(diǎn):函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)
專(zhuān)題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(1)由已知可f(x)是以8為周期的周期函數(shù),故f(2015)=f(-1)=-f(1)=-3;
(2)設(shè)P(x0,y0)是函數(shù)y=f(x)圖象上任意一點(diǎn),則y0=f(x0),P點(diǎn)關(guān)于x=2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q(4-x0,y0),結(jié)合已知中定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x-4)=-f(x),結(jié)合(1)中函數(shù)的周期為8,可得f(4-x0)=y0,即Q在函數(shù)y=f(x)圖象上,則y=f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng).
(3)由奇函數(shù)滿(mǎn)足f(0)=0,結(jié)合f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),f(2)=1,可得故f(x)在區(qū)間[0,2]上值域?yàn)閇0,1],結(jié)合奇偶性f(x)在區(qū)間[-2,2]上值域?yàn)閇-1,1],結(jié)合對(duì)稱(chēng)性而f(x)在區(qū)間[2,6]上值域?yàn)閇-1,1],結(jié)合周期性可得函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇-1,1].
解答: 解:(1)∵f(x-4)=-f(x).
∴f(x-8)=f[(x-4)-4]=-f(x-4)=f(x).
函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù),
又∵2015÷8=251…7
故f(2015)=f(-1),
又∵奇函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(1)=3,
∴f(2015)=-3;
證明:(2)設(shè)P(x0,y0)是函數(shù)y=f(x)圖象上任意一點(diǎn),則y0=f(x0),
又P點(diǎn)關(guān)于x=2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q(4-x0,y0),
由已知f(x-4)=-f(x).
可得,f(4-x0)=f((8-x0)-4)=-f(8-x0)=f(x0-8)=y0
即Q在函數(shù)y=f(x)圖象上,
則y=f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng).
解:(3)∵f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),
f(2)=1,f(0)=0,
故f(x)在區(qū)間[0,2]上值域?yàn)閇0,1],
故f(x)在區(qū)間[-2,0]上是增函數(shù),值域?yàn)閇-1,0],
故f(x)在區(qū)間[-2,2]上值域?yàn)閇-1,1],
又由(2)得y=f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng),
故f(x)在區(qū)間[2,6]上值域?yàn)閇-1,1],
又由f(x)是以8為周期的周期函數(shù),
故函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇-1,1].
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的周期性,函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性,函數(shù)的奇偶性,是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用,難度中檔.
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已知圓C經(jīng)過(guò)A(1,
3
)、B(
2
,-
2
),且圓心在直線(xiàn)y=x上.
(1)求圓C的方程;
(2)設(shè)直線(xiàn)l的方程為(t3+2t)x+(t3+t+1)y-(t3+2t)=0,
①證明:對(duì)任意實(shí)數(shù)t,直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)P;
②過(guò)動(dòng)點(diǎn)M作圓C的兩條切線(xiàn),切點(diǎn)分別為A和B,且有
MA
MB
=0,求M的軌跡方程.

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已知函數(shù)f(x)=
log
1
2
(x-1)
的定義域?yàn)榧螦,函數(shù)g(x)=3 m-2x-x2-1的值域?yàn)榧螧,且 A∪B=B,實(shí)數(shù)m的取值范圍是多少.

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頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸,且過(guò)點(diǎn)P(-4,-2)的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是( 。
A、y2=-x
B、x2=-8y
C、y2=-8x或x2=-y
D、y2=-x或x2=-8y

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命題P:已知a>0,函數(shù)y=ax在R上是減函數(shù),命題q:方程x2+ax+1=0有兩個(gè)正根,若p或q為真命題,p且q為假命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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tan65°-tan5°-
3
tan60°tan5°=
 

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不等式
(x-1)2(x+2)
(x-3)(x-4)
≤0的解集是
 

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已知函數(shù)f(x)=2-x2+ax+3
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(2)若A={x|y=lg(5-x)},函數(shù)f(x)=2-x2+ax+3在A內(nèi)是增函數(shù),求a的取值范圍.

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如圖程序,當(dāng)輸入變量x的值為5時(shí),電腦屏幕上將顯示( 。
A、5B、-5
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