Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x-4）=-f（x）．
（1）當(dāng)f（1）=3時(shí)，求f（2015）的值；
（2）求證：函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱；
（3）若f（x）滿足在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)的條件，且f（2）=1，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由已知可f（x）是以8為周期的周期函數(shù)，故f（2015）=f（-1）=-f（1）=-3；
（2）設(shè)P（x₀，y₀）是函數(shù)y=f（x）圖象上任意一點(diǎn)，則y₀=f（x₀），P點(diǎn)關(guān)于x=2的對稱點(diǎn)為Q（4-x₀，y₀），結(jié)合已知中定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x-4）=-f（x），結(jié)合（1）中函數(shù)的周期為8，可得f（4-x₀）=y₀，即Q在函數(shù)y=f（x）圖象上，則y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱．
（3）由奇函數(shù)滿足f（0）=0，結(jié)合f（x）在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，f（2）=1，可得故f（x）在區(qū)間[0，2]上值域?yàn)閇0，1]，結(jié)合奇偶性f（x）在區(qū)間[-2，2]上值域?yàn)閇-1，1]，結(jié)合對稱性而f（x）在區(qū)間[2，6]上值域?yàn)閇-1，1]，結(jié)合周期性可得函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-1，1]．

解答： 解：（1）∵f（x-4）=-f（x）．
∴f（x-8）=f[（x-4）-4]=-f（x-4）=f（x）．
函數(shù)f（x）是以8為周期的周期函數(shù)，
又∵2015÷8=251…7
故f（2015）=f（-1），
又∵奇函數(shù)f（x）滿足f（1）=3，
∴f（2015）=-3；
證明：（2）設(shè)P（x₀，y₀）是函數(shù)y=f（x）圖象上任意一點(diǎn)，則y₀=f（x₀），
又P點(diǎn)關(guān)于x=2的對稱點(diǎn)為Q（4-x₀，y₀），
由已知f（x-4）=-f（x）．
可得，f（4-x₀）=f（（8-x₀）-4）=-f（8-x₀）=f（x₀-8）=y₀，
即Q在函數(shù)y=f（x）圖象上，
則y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱．
解：（3）∵f（x）在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，
f（2）=1，f（0）=0，
故f（x）在區(qū)間[0，2]上值域?yàn)閇0，1]，
故f（x）在區(qū)間[-2，0]上是增函數(shù)，值域?yàn)閇-1，0]，
故f（x）在區(qū)間[-2，2]上值域?yàn)閇-1，1]，
又由（2）得y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，
故f（x）在區(qū)間[2，6]上值域?yàn)閇-1，1]，
又由f（x）是以8為周期的周期函數(shù)，
故函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-1，1]．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的周期性，函數(shù)的對稱性，函數(shù)的奇偶性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．