Question

11．已知函數f（x）=3^x+λ•3^-x（λ∈R）
（1）當λ=-2時，求函數f（x）的零點；
（2）若函數f（x）為奇函數，求實數λ的值；
（3）若不等式$\frac{1}{2}$≤f（x）≤4在x∈[0，1]上恒成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令f（x）=0解出零點；（2）令f（0）=0解出λ，（3）令3^x=t，則不等式轉化為$\frac{1}{2}$≤t+$\frac{λ}{t}$≤4在[1，3]上恒成立．令g（t）=t+$\frac{λ}{t}$，討論g（t）在[1，3]上的單調性，令$\left\{\begin{array}{l}{{g}_{min}（t）≥\frac{1}{2}}\\{{g}_{max}（t）≤4}\end{array}\right.$解出λ的范圍．

解答 解：（1）當λ=-2時，f（x）=3^x-2•3^-x，
令f（x）=0得（3^x）²-2=0，∴3^x=$\sqrt{2}$，
解得x=log₃$\sqrt{2}$．
即f（x）的零點為log₃$\sqrt{2}$．
（2）若f（x）是奇函數，則f（0）=0，
即1+λ=0，
∴λ=-1．
（3）∵$\frac{1}{2}$≤f（x）≤4，即$\frac{1}{2}$≤3^x+λ•3^-x≤4
設3^x=t，t＞0，∴$\frac{1}{2}$≤t+$\frac{λ}{t}$≤4在[1，3]上恒成立．
令g（t）=t+$\frac{λ}{t}$，則g′（t）=1-$\frac{λ}{{t}^{2}}$．
①若λ≤0，則g′（t）＞0，g（t）在[1，3]上是增函數，
∴g_max（t）=g（3）=3+$\frac{λ}{3}$，g_min（t）=g（1）=1+λ，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3+\frac{λ}{3}≤4}\\{1+λ≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得-$\frac{1}{2}$≤λ≤0．
②若λ＞0，令g′（t）=0得t=$\sqrt{λ}$．
當0＜t≤$\sqrt{λ}$時，g′（t）≤0，故g（t）在（0，$\sqrt{λ}$]是減函數，當t$＞\sqrt{λ}$時，g′（t）＞0，故g（t）在（$\sqrt{λ}$，0）上是增函數．
（i）若$\sqrt{λ}$≤1，即0≤λ≤1時，g（t）在[1，3]上為整函數，
∴g_max（t）=g（3）=3+$\frac{λ}{3}$，g_min（t）=g（1）=1+λ，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3+\frac{λ}{3}≤4}\\{1+λ≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得0＜λ≤1．
（ii）若1＜$\sqrt{λ}$＜3，即1＜λ＜9時，g（t）在[1，$\sqrt{λ}$]上是減函數，在（$\sqrt{λ}$，3]上是增函數，
∴g_min（t）=g（$\sqrt{λ}$）=2$\sqrt{λ}$，g_max（t）=g（1）=1+λ或g_max（t）=g（3）=3+$\frac{λ}{3}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{λ}≥\frac{1}{2}}\\{1+λ≤4}\\{3+\frac{λ}{3}≤4}\end{array}\right.$，解得λ=3．
（iii）若$\sqrt{λ}$≥3，即λ≥9時，g（t）在[1，3]上為減函數，
∴g_max（t）=g（1）=1+λ，g_min（t）=g（3）=3+$\frac{λ}{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+λ≤4}\\{3+\frac{λ}{3}≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，方程組無解．
綜上，λ的取值范圍是[-$\frac{1}{2}$，1]∪{3}．

點評 本題考查了函數的零點，函數的單調性，函數恒成立問題的討論，屬于中檔題．