Question

【題目】已知橢圓C： =1的左頂點為A（﹣3，0），左焦點恰為圓x2+2x+y2+m=0（m∈R）的圓心M．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點A且與圓M相切于點B的直線，交橢圓C于點P，P與橢圓C右焦點的連線交橢圓于Q，若三點B，M，Q共線，求實數(shù)m的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）圓M方程變形得：（x+1）2+y2=1﹣m，即M（﹣1，0），∴c=1，
∵頂點A（﹣3，0），∴a=3，
∴b2=a2﹣c2=9﹣1=8，
則橢圓C的方程為 =1；
（Ⅱ）設(shè)AP方程為x=ty﹣3（t≠0），代入橢圓方程得：（8t2+9）y2﹣48ty=0，
解得：yA=0，yP= ，
∴xP=tyP﹣3= ，
∵右焦點坐標為（1，0），
∴PQ方程為x= y+1，代入橢圓方程得： y2+ y﹣64=0，
∴yPyQ= ，即yQ= ，
∴xQ= yQ+1= ，
由B，M，Q三點共線，可得MQ⊥AP，即kMQkAP=﹣1，
∴ =﹣1，
解得：t=± ，
∴直線AP方程為x=± y﹣3，
則圓心M到AP的距離為1，即圓半徑為 =1，
則m=0
【解析】（Ⅰ）圓M方程變形找出M坐標，確定出c的值，由頂點A坐標確定出a的值，進而求出b的值，即可確定出橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)AP方程為x=ty﹣3（t≠0），代入橢圓方程，消去x表示出P的縱坐標，進而表示出橫坐標，再表示出Q坐標，根據(jù)B，M，Q三點共線，得到MQ與AP垂直，即直線MQ與直線AP斜率乘積為﹣1，求出t的值，確定出直線AP方程，進而求出m的值．
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標準方程的相關(guān)知識點，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．