Question

13．如圖所示的多面體中，底面ABCD為正方形，△GAD為等邊三角形，∠GDC=90°，點(diǎn)E是線段GC的中點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)P為線段GD的中點(diǎn)，證明：平面APE⊥平面GCD；
（2）求平面BDE與平面GCD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）易得CD⊥面ADG．只需PE∥CD，即可得PE⊥面ADG，平面APE⊥平面GCD；
（2）如圖以AD的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AD=2，則B（1，2，0），D（-1，0，0），C（-1，2，0），G（0，0，$\sqrt{3}$），E（-$\frac{1}{2}$，1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），利用向量求解．

解答 解：（1）證明：∵底面ABCD為正方形，∠GDC=90°，
∴$\left\{\begin{array}{l}{CD⊥AD}\\{CD⊥DG}\end{array}\right.$，且AD∩DG=D，∴CD⊥面ADG．
∵點(diǎn)E是線段GC的中點(diǎn)．點(diǎn)P為線段GD的中點(diǎn)，∴PE∥CD，∴PE⊥面ADG，
又因?yàn)镻E?面GCD，平面APE⊥平面GCD．
（2）如圖以AD的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸建立空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)AD=2，則B（1，2，0），D（-1，0，0），C（-1，2，0），G（0，0，$\sqrt{3}$），E（-$\frac{1}{2}$，1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
設(shè)面BDE的法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，$\overrightarrow{BD}=（-2，-2，0）$，$\overrightarrow{BE}=（-\frac{3}{2}，-1，\frac{\sqrt{3}}{2}）$
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=-2x-2y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=-\frac{3}{2}x-y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$可取$\overrightarrow{m}=（\sqrt{3}，-\sqrt{3}，1）$
由（1）得CD⊥AP，∵，△GAD為等邊三角形，∴AP⊥GD，即可得AP⊥面GCD，
∴可取$\overrightarrow{AP}$為面GCD的法向量，∵P（-$\frac{1}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），A（1，0，0）
∴$\overrightarrow{AP}$=（-$\frac{3}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{AP}$＞=$\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{7}×\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴平面BDE與平面GCD所成銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查了面面垂直的判定，向量的應(yīng)用，屬于中檔題．