Question

20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)F（1，0），直線x=-1與動(dòng)直線y=n的交點(diǎn)為M，線段MF的中垂線與動(dòng)直線y=n的交點(diǎn)為P．
（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡Г的方程；
（Ⅱ）過動(dòng)點(diǎn)M作曲線Г的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，求證：∠AMB的大小為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接PF，運(yùn)用中垂線的性質(zhì)可得|MP|=|PF|，再由拋物線的定義可得點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）求得M（-1，n），過點(diǎn)M的切線斜率存在，設(shè)為k，則切線方程為：y-n=k（x+1），聯(lián)立拋物線的方程，消去y，運(yùn)用相切的條件：判別式為0，再由韋達(dá)定理，結(jié)合兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，即可得證．

解答 解：（Ⅰ）據(jù)題意，MP⊥直線x=-1，
∴|MP|為點(diǎn)P到直線x=-1的距離，
連接PF，∵P為線段MF的中垂線與直線y=n的交點(diǎn)，
∴|MP|=|PF|，
∴P點(diǎn)的軌跡是拋物線，焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線為直線x=-1，
∴曲線Г的方程為y²=4x；
（Ⅱ）證明：據(jù)題意，M（-1，n），過點(diǎn)M的切線斜率存在，設(shè)為k，
則切線方程為：y-n=k（x+1），
聯(lián)立拋物線方程$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+k+n}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$   
可得ky²-4y+4k+4n=0，
由直線和拋物線相切，
可得△=16-4k（4k+4n）=0，
即k²+kn-1=0，（*）
∵△=n²+4＞0，∴方程（*）存在兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)為k₁，k₂，
∵k₁=k_AM，k₂=k_BM，
由方程（*）可知，k_AM•k_BM=k₁•k₂=-1，
∴切線AM⊥BM，∴∠AMB=90°，結(jié)論得證．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，注意運(yùn)用拋物線的定義，考查直線和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用直線和拋物線相切的條件：判別式為0，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．