Question

9．若直線ax+by+1=0（a、b＞1）過圓x²+y²+8x+2y+1=0的圓心，則$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$的最小值為16．

Answer 1

分析 直線過圓心，先求圓心坐標，推出4a+b=1，利用1的代換，以及基本不等式求最小值即可．

解答 解：圓x²+y²+8x+2y+1=0的圓心（-4，-1）在直線ax+by+1=0上，
所以-4a-b+1=0，即 1=4a+b代入，
得$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$）（4a+b）=8+$\frac{a}$+$\frac{16a}$≥16（a＞0，b＞0當且僅當4a=b時取等號）
則$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$的最小值為16，
故答案為：16．

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，基本不等式，本題關(guān)鍵是利用1的代換后利用基本不等式，考查計算能力，是基礎(chǔ)題．