Question

15．已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+2|
（Ⅰ）作出函數(shù)f（x）的圖象（不要求寫作法）；
（Ⅱ）若不等式9a²+1≥|a|f（x）對a∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用分段函數(shù)的形式寫出f（x），再由分段函數(shù)的畫法，可得圖象；
（Ⅱ）由題意可得f（x）≤9|a|+$\frac{1}{|a|}$的最小值，運用基本不等式求得右邊函數(shù)的最小值，再由絕對值不等式的解法，即可得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+1，x≥1}\\{3，-2＜x＜1}\\{-1-2x，x≤-2}\end{array}\right.$，
作出函數(shù)f（x）的圖象，如右：
（Ⅱ）不等式9a²+1≥|a|f（x）對a∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立，
即有f（x）≤9|a|+$\frac{1}{|a|}$的最小值，
由9|a|+$\frac{1}{|a|}$≥2$\sqrt{9|a|•\frac{1}{|a|}}$=6，當且僅當|a|=$\frac{1}{3}$取得最小值6．
即有|x-1|+|x+2|≤6，
即為$\left\{\begin{array}{l}{2x+1≤6}\\{x≥1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{3≤6}\\{-2＜x＜1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1-2x≤6}\\{x≤-2}\end{array}\right.$，
即為1≤x≤$\frac{5}{2}$或-2＜x＜-1或-$\frac{7}{2}$≤x≤-2，
解得-$\frac{7}{2}$≤x≤$\frac{5}{2}$．
則實數(shù)x的取值范圍為[-$\frac{7}{2}$，$\frac{5}{2}$]．

點評 本題考查絕對值函數(shù)的圖象的畫法，考查不等式恒成立問題的解法，注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，運用基本不等式，同時考查絕對值不等式的解法，屬于中檔題．