Question

16．對(duì)于給定的正整數(shù)n和正數(shù)R，若等差數(shù)列a₁，a₂，a₃，…滿足a${\;}_{1}^{2}+{a}_{2n+1}^{2}$≤R，則S=a_2n+1+a_2n+2+a_2n+3+…+a_4n+1的最大值為$\frac{（2n+1）\sqrt{10R}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)等差數(shù)列的關(guān)系整理得S=（2n+1）a_3n+1，由a${\;}_{1}^{2}+{a}_{2n+1}^{2}$=$（{a}_{3n+1}-3nd）^{2}+（{a}_{3n+1}-nd）^{2}$≤R，
根據(jù)△≥0，化簡可得到S≤$\frac{（2n+1）\sqrt{10R}}{2}$．

解答 解：數(shù)列{a_n}等差數(shù)列，
∴a_2n+1+a_4n+1=a_2n+2+a_4n=…2a_3n+1，
∴S=（2n+1）a_3n+1，
∵a${\;}_{1}^{2}+{a}_{2n+1}^{2}$=$（{a}_{3n+1}-3nd）^{2}+（{a}_{3n+1}-nd）^{2}$≤R，
化簡得：$2{a}_{3n+1}^{2}$-8dna_3n+1+10n²d²-R≤0，
關(guān)于d的二次方程，10n²d²-8dna_3n+1+$2{a}_{3n+1}^{2}$-R≤0，有解，
∴△=$（-8n{a}_{3n+1}）^{2}$-40n²（$2{a}_{3n+1}^{2}$-R）≥0，
化簡得：8${a}_{3n+1}^{2}$-10${a}_{3n+1}^{2}$+5R≥0，
∴${a}_{3n+1}^{2}$≤$\frac{5R}{2}$，
∴$-\frac{\sqrt{10R}}{2}≤{a}_{3n+1}≤\frac{\sqrt{10R}}{2}$，
S≤$\frac{（2n+1）\sqrt{10R}}{2}$．
故答案為：$\frac{（2n+1）\sqrt{10R}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求等差數(shù)列的和，利用判別式判斷二次函數(shù)的最大值，屬于中檔題．